什么是动态规划？
动态规划（英语：Dynamic programming，简称 DP），是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.
以上定义来自维基百科，看定义感觉还是有点抽象。简单来说，动态规划其实就是，给定一个问题，我们把它拆成一个个子问题，直到子问题可以直接解决。然后呢，把子问题答案保存起来，以减少重复计算。再根据子问题答案反推，得出原问题解的一种方法。
一般这些子问题很相似，可以通过函数关系式递推出来。然后呢，动态规划就致力于解决每个子问题一次，减少重复计算,比如斐波那契数列就可以看做入门级的经典动态规划问题。
动态规划核心思想
动态规划最核心的思想，就在于拆分子问题，记住过往，减少重复计算。
我们来看下，网上比较流行的一个例子：
- A ："1+1+1+1+1+1+1+1 =？"
- A ："上面等式的值是多少"
- B ：计算 "8"
- A ：在上面等式的左边写上 "1+" 呢？
- A ："此时等式的值为多少"
- B ：很快得出答案 "9"
- A ："你怎么这么快就知道答案了"
- A ："只要在8的基础上加1就行了"
- A ："所以你不用重新计算，因为你记住了第一个等式的值为8!动态规划算法也可以说是 '记住求过的解来节省时间'"
一个例子带你走进动态规划 -- 青蛙跳阶问题
暴力递归
leetcode原题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 10 级的台阶总共有多少种跳法。
有些小伙伴第一次见这个题的时候，可能会有点蒙圈，不知道怎么解决。其实可以试想：
- 要想跳到第10级台阶，要么是先跳到第9级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第8级，然后一次迈2级台阶上去。
- 同理，要想跳到第9级台阶，要么是先跳到第8级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第7级，然后一次迈2级台阶上去。
- 要想跳到第8级台阶，要么是先跳到第7级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第6级，然后一次迈2级台阶上去。
假设跳到第n级台阶的跳数我们定义为f(n)，很显然就可以得出以下公式：
f(10) = f(9) + f(8) f(9) = f(8) + f(7) f(8) = f(7) + f(6) ... f(3) = f(2) + f(1) 即通用公式为: f(n) = f(n-1) + f(n-2)
那f(2) 或者 f(1) 等于多少呢？
- 当只有2级台阶时，有两种跳法，第一种是直接跳两级，第二种是先跳一级，然后再跳一级。即f(2) = 2;
- 当只有1级台阶时，只有一种跳法，即f(1)= 1；
因此可以用递归去解决这个问题：
class Solution {
public int numWays(int n) {
if(n == 1){
return 1;
}
if(n == 2){
return 2;
}
return numWays(n-1) + numWays(n-2);
}
}
去leetcode提交一下，发现有问题，超出时间限制了
为什么超时了呢？递归耗时在哪里呢？先画出递归树看看：
- 要计算原问题 f(10)，就需要先计算出子问题 f(9) 和 f(8)
- 然后要计算 f(9)，又要先算出子问题 f(8) 和 f(7)，以此类推。
- 一直到 f(2) 和 f(1），递归树才终止。
我们先来看看这个递归的时间复杂度吧：
递归时间复杂度 = 解决一个子问题时间*子问题个数
- 一个子问题时间 = f(n-1) + f(n-2)，也就是一个加法的操作，所以复杂度是 O(1)；
- 问题个数 = 递归树节点的总数，递归树的总节点 = 2^n-1，所以是复杂度O(2^n)。
因此，青蛙跳阶，递归解法的时间复杂度 = O(1) * O(2^n) = O(2^n)，就是指数级别的，爆炸增长的，如果n比较大的话，超时很正常的了。
回过头来，你仔细观察这颗递归树，你会发现存在大量重复计算，比如f(8)被计算了两次，f(7)被计算了3次...所以这个递归算法低效的原因，就是存在大量的重复计算！
既然存在大量重复计算，那么我们可以先把计算好的答案存下来，即造一个备忘录，等到下次需要的话，先去备忘录查一下，如果有，就直接取就好了，备忘录没有才开始计算，那就可以省去重新重复计算的耗时啦！这就是带备忘录的解法。
带备忘录的递归解法（自顶向下）
一般使用一个数组或者一个哈希map充当这个备忘录。
- 第一步，f(10)= f(9) + f(8)，f(9) 和f(8)都需要计算出来，然后再加到备忘录中，如下：
- 第二步， f(9) = f(8)+ f(7)，f(8)= f(7)+ f(6), 因为 f(8) 已经在备忘录中啦，所以可以省掉，f(7)，f(6)都需要计算出来，加到备忘录中~
- 第三步， f(8) = f(7) + f(6)，发现f(8)、f(7)、f(6)全部都在备忘录上了，所以都可以剪掉。
所以呢，用了备忘录递归算法，递归树变成光秃秃的树干咯，如下：
带备忘录的递归算法，子问题个数=树节点数=n，解决一个子问题还是O(1)，所以带备忘录的递归算法的时间复杂度是O(n)。接下来呢，我们用带备忘录的递归算法去撸代码，解决这个青蛙跳阶问题的超时问题咯~，代码如下：
public class Solution {
//使用哈希map，充当备忘录的作用
Map<Integer, Integer> tempMap = new HashMap();
public int numWays(int n) {
// n = 0 也算1种
if (n == 0) {
return 1;
}
if (n <= 2) {
return n;
}
//先判断有没计算过，即看看备忘录有没有
if (tempMap.containsKey(n)) {
//备忘录有，即计算过，直接返回
return tempMap.get(n);
} else {
// 备忘录没有，即没有计算过，执行递归计算,并且把结果保存到备忘录map中，对1000000007取余（这个是leetcode题目规定的）
tempMap.put(n, (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % 1000000007);
return tempMap.get(n);
}
}
}
去leetcode提交一下，如图，稳了：
其实，还可以用动态规划解决这道题。
自底向上的动态规划
动态规划跟带备忘录的递归解法基本思想是一致的，都是减少重复计算，时间复杂度也都是差不多。但是呢：
- 带备忘录的递归，是从f(10)往f(1)方向延伸求解的，所以也称为自顶向下的解法。
- 动态规划从较小问题的解，由交叠性质，逐步决策出较大问题的解，它是从f(1)往f(10)方向，往上推求解，所以称为自底向上的解法。
动态规划有几个典型特征，最优子结构、状态转移方程、边界、重叠子问题。在青蛙跳阶问题中：
- f(n-1) 和 f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构。
- f(n)=f(n-1) + f(n-2)就称为状态转移方程。
- f(1)=1, f(2)=2 就是边界啦。
- 比如f(10)= f(9)+f(8)，f(9) = f(8) + f(7)，f(8)就是重叠子问题。
我们来看下自底向上的解法，从f(1)往f(10)方向，想想是不是直接一个for循环就可以解决啦，如下：
带备忘录的递归解法，空间复杂度是O(n)，但是呢，仔细观察上图，可以发现，f(n)只依赖前面两个数，所以只需要两个变量a和b来存储，就可以满足需求了，因此空间复杂度是O(1)就可以啦：
动态规划实现代码如下：
public class Solution {
public int numWays(int n) {
if (n<= 1) {
return 1;
}
if (n == 2) {
return 2;
}
int a = 1;
int b = 2;
int temp = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
temp = (a + b)% 1000000007;
a = b;
b = temp;
}
return temp;
}
}
动态规划的解题套路
什么样的问题可以考虑使用动态规划解决呢？
如果一个问题，可以把所有可能的答案穷举出来，并且穷举出来后，发现存在重叠子问题，就可以考虑使用动态规划。
比如一些求最值的场景，如最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题等等，都是动态规划的经典应用场景。
动态规划的解题思路
动态规划的核心思想就是拆分子问题，记住过往，减少重复计算。 并且动态规划一般都是自底向上的，因此到这里，基于青蛙跳阶问题，我总结了一下我做动态规划的思路：
- 穷举分析
- 确定边界
- 找出规律，确定最优子结构
- 写出状态转移方程
1. 穷举分析
- 当台阶数是1的时候，有一种跳法，f(1)=1
- 当只有2级台阶时，有两种跳法，第一种是直接跳两级，第二种是先跳一级，然后再跳一级。即f(2) = 2;
- 当台阶是3级时，想跳到第3级台阶，要么是先跳到第2级，然后再跳1级台阶上去，要么是先跳到第 1级，然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(3) = f(2) + f(1) =3
- 当台阶是4级时，想跳到第3级台阶，要么是先跳到第3级，然后再跳1级台阶上去，要么是先跳到第 2级，然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(4) = f(3) + f(2) =5
- 当台阶是5级时......
2. 确定边界
通过穷举分析，我们发现，当台阶数是1的时候或者2的时候，可以明确知道青蛙跳法。f(1)=1，f(2)= 2，当台阶n>=3时，已经呈现出规律f(3) = f(2) + f(1) = 3，因此 f(1)=1，f(2)=2就是青蛙跳阶的边界。
3. 找规律，确定最优子结构
n>=3时，已经呈现出规律 f(n) = f(n-1) + f(n-2) ，因此，f(n-1) 和 f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构。什么是最优子结构？有这么一个解释：
一道动态规划问题，其实就是一个递推问题。假设当前决策结果是f(n)，则最优子结构就是要让 f(n-k) 最优,最优子结构性质就是能让转移到n的状态是最优的,并且与后面的决策没有关系,即让后面的决策安心地使用前面的局部最优解的一种性质
4. 写出状态转移方程
通过前面3步，穷举分析，确定边界，最优子结构，我们就可以得出状态转移方程啦：
5. 代码实现
我们实现代码的时候，一般注意从底往上遍历哈，然后关注下边界情况，空间复杂度，也就差不多啦。动态规划有个框架的，大家实现的时候，可以考虑适当参考一下：
dp[0][0][...] = 边界值
for(状态1 ：所有状态1的值){
for(状态2 ：所有状态2的值){
for(...){
//状态转移方程
dp[状态1][状态2][...] = 求最值
}
}
}
leetcode案例分析
我们一起来分析一道经典leetcode题目吧
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18] 输出：4 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3] 输出：4
我们按照以上动态规划的解题思路，
- 穷举分析
- 确定边界
- 找规律，确定最优子结构
- 状态转移方程
穷举分析
因为动态规划，核心思想包括拆分子问题，记住过往，减少重复计算。 所以我们在思考原问题：数组num[i]的最长递增子序列长度时，可以思考下相关子问题，比如原问题是否跟子问题num[i-1]的最长递增子序列长度有关呢？
自顶向上的穷举
这里观察规律，显然是有关系的，我们还是遵循动态规划自底向上的原则，基于示例1的数据，从数组只有一个元素开始分析。
- 当nums只有一个元素10时，最长递增子序列是[10],长度是1.
- 当nums需要加入一个元素9时，最长递增子序列是[10]或者[9],长度是1。
- 当nums再加入一个元素2时，最长递增子序列是[10]或者[9]或者[2],长度是1。
- 当nums再加入一个元素5时，最长递增子序列是[2,5],长度是2。
- 当nums再加入一个元素3时，最长递增子序列是[2,5]或者[2,3],长度是2。
- 当nums再加入一个元素7时，,最长递增子序列是[2,5,7]或者[2,3,7],长度是3。
- 当nums再加入一个元素101时，最长递增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101],长度是4。
- 当nums再加入一个元素18时，最长递增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101]或者[2,5,7,18]或者[2,3,7,18],长度是4。
- 当nums再加入一个元素7时,最长递增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101]或者[2,5,7,18]或者[2,3,7,18],长度是4.
分析找规律，拆分子问题
通过上面分析，我们可以发现一个规律：
如果新加入一个元素nums[i]，最长递增子序列要么是以nums[i]结尾的递增子序列，要么就是nums[i-1]的最长递增子序列。看到这个，是不是很开心，nums[i]的最长递增子序列已经跟子问题nums[i-1]的最长递增子序列有关联了。
原问题数组nums[i]的最长递增子序列 = max(子问题数组nums[i-1]的最长递增子序列, nums[i]结尾的最长递增子序列)
是不是感觉成功了一半呢？但是如何把nums[i]结尾的递增子序列也转化为对应的子问题呢？要是nums[i]结尾的递增子序列也跟nums[i-1]的最长递增子序列有关就好了。又或者nums[i]结尾的最长递增子序列，跟前面子问题num[j](0=<j<i)结尾的最长递增子序列有关就好了，带着这个想法，我们又回头看看穷举的过程：
nums[i]的最长递增子序列，不就是从以数组num[i]每个元素结尾的最长子序列集合，取元素最多（也就是长度最长）那个嘛，所以原问题，我们转化成求出以数组nums每个元素结尾的最长子序列集合，再取最大值嘛。哈哈，想到这，我们就可以用dp[i]表示以num[i]这个数结尾的最长递增子序列的长度啦，然后再来看看其中的规律：
其实，nums[i]结尾的自增子序列，只要找到比nums[i]小的子序列，加上nums[i]就可以啦。显然，可能形成多种新的子序列，我们选最长那个，就是dp[i]的值啦：
nums[3]=5，以5结尾的最长子序列就是[2,5],因为从数组下标0到3遍历，只找到了子序列[2]比5小，所以就是[2]+[5]啦，即dp[4]=2nums[4]=3，以3结尾的最长子序列就是[2,3],因为从数组下标0到4遍历，只找到了子序列[2]比3小，所以就是[2]+[3]啦，即dp[4]=2nums[5]=7，以7结尾的最长子序列就是[2,5,7]和[2,3,7],因为从数组下标0到5遍历，找到2,5和3都比7小，所以就有[2,7],[5,7],[3,7],[2,5,7]和[2,3,7]这些子序列，最长子序列就是[2,5,7]和[2,3,7]，它俩不就是以5结尾和3结尾的最长递增子序列+[7]来的嘛！所以，dp[5]=3 =dp[3]+1=dp[4]+1。
很显然有这个规律：一个以nums[i]结尾的数组nums，如果存在j属于区间[0，i-1]，并且num[i]>num[j]的话，则有：dp(i) = max(dp(j)) + 1
最简单的边界情况
当nums数组只有一个元素时，最长递增子序列的长度dp(1)=1，当nums数组有两个元素时，dp(2)=2或者1， 因此边界就是dp(1)=1。
确定最优子结构
从穷举分析，我们可以得出，以下的最优结构：
dp(i) = max(dp(j)) + 1，存在j属于区间[0，i-1], 并且num[i] > num[j]。
max(dp(j)) 就是最优子结构。
状态转移方程
通过前面分析，我们就可以得出状态转移方程啦：
所以数组num[i]的最长递增子序列就是：
最长递增子序列 = max(dp[i])
代码实现
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
if (nums.length == 0) {
return 0;
}
int[] dp = new int[nums.length];
// 初始化就是边界情况
dp[0] = 1;
int maxans = 1;
// 自底向上遍历
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
dp[i] = 1;
// 从下标0到i遍历
for (int j = 0; j < i; j++) {
// 找到前面比nums[i]小的数nums[j], 即有dp[i]= dp[j]+1
if (nums[j] < nums[i]) {
// 因为会有多个小于nums[i]的数，也就是会存在多种组合了嘛，我们就取最大放到dp[i]
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
// 求出dp[i]后，dp最大那个就是nums的最长递增子序列啦
maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
}
return maxans;
}
}